Урок-презентация «Основные свойства функции. Чётность и нёчетность»

Заполните таблицу: x = 1 x = -1 x = 3 x = -3 f(x)=x2 f(x)=x3

Основные свойства функции: 2.Чётность и нёчетность. Преподаватель математики: Семяшкина Ирина Васильевна

Цель: Формирование знаний свойств четности и нечетности функций; Выработка навыков использования четности и нечетности для построения графиков функций.

Определение 1: 1) область определения функции является симметричным множеством. 2)  f(-x)=f(x) для любого x из области определения. Функция является четной функцией, если выполняются условия:   Название связано со свойствами степенных функций: функция f(x)=xn чётна когда n чётно.

Определение 2: 1) область определения функции является симметричным множеством. 2)  f(-x)= - f(x) для любого x из области определения. Функция является  нечетной функцией, если выполняются условия: Название связано со свойствами степенных функций: функция f(x)=xn нечётна когда n нечётно.

Симметричное множество – это область всегда симметричная относительно х = 0 Определите среди приведенных множеств, те которые являются симметричными. 0 -3 2 x 0 -3 3 x 0 -3 3 x 0 -3 3 x 0 +∞ x -∞ а б в г д

Алгоритм исследования функции на чётность и нечётность Найти область определения функции Область определения функции НЕ СИММЕТРИЧНА относительно начала координат Область определения функции СИММЕТРИЧНА относительно начала координат Функция не является НИ ЧЕТНОЙ, НИ НЕЧЕТНОЙ (общего вида) Функция ЧЕТНАЯ Функция НЕЧЕТНАЯ Функция не является НИ ЧЕТНОЙ, НИ НЕЧЕТНОЙ (общего вида) f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) f(-x)≠f(x) f(-x)≠-f(x)

Чётность тригонометрических функций Точки A и C получены поворотом точки (1;0) на углы  и − соответственно. Абсциссы этих точек совпадают, а ординаты отличаются только знаками, т.е. cos(−)=cos и sin(−)=−sin .  Следовательно, функция y=sinx является нечётной функцией, а y=cosx - чётной функцией. Так как функция y=tgx=sinx/cosx, то будет верно равенство tg(−x)=−tgx, т.е. функция y=tgx - нечётная функция. Аналогично, т.к. y=ctgx=cosx/sinx, ctg(−x)=−ctgx и y=сtgx - нечётная функция. -  С А 1 1 x y 0 Cos(-) Cos Sin(-) Sin Единичная окружность.

Пример: определите вид функций: ИНСТРУКЦИЯ К РЕШЕНИЮ Для того чтобы выяснить четная или нечетная функция необходимо: - найти область определения функции D(f) (значения для x) и показать, что эта область симметрична относительно 0. найти f(-x) и если: f(-x)= f(x), то функция четная, а если f(-x)=-f(x), то функция нечетная. а f(x)=x3 – Sinx + ctgx б f(x)=2x4- 10Cosx + 11xtgx f(x)=-x2 +2Cosx - Sinx в

Графическая интерпретация: График четной функции симметричен относительно оси ординат: При построении графиков четных функций используется осевая симметрия относительно оси ординат.

Графическая интерпретация: График нечетной функции симметричен относительно точки начала координат (0; 0): При построении графиков нечетной функции используется центральная симметрия относительно точки начала координат.

Задание 1 Является ли множество [−10;10) симметричным? нет да

Задание 2 Исследуйте функцию y=|x|, x∈[−11;11) на чётность. Данная функция чётная нечётная ни чётная, ни нечётная

Задание 3 Выберите чётную функцию f(x)=x2-2/x4 y=-x5 g(x)=21+9x Областью определения данной функции является D(y)=(−∞;0)∪(0;+∞) D(y)=(−1;5) D(y)=(−∞;+∞)

Задание 4 Определите, чётная ли данная функция f(x)=-x2 Данная функция нечётная данная функция чётная Данная функция ни чётная, ни нечётная

Задание 5 Даны функции: 1. y=-x/7 2. y=x7-2x 3. y=9x+10 4. y=2x5−7x+10   Из них нечётными являются функции 1; 3; 4. все 1; 2. ни одна 4. y=-x/7

Задание 6 На рисунке изображён   График нечётной функции График чётной функции График функции общего вида

Задание 7 Представьте функцию f(x) = 2x6+11x9+12x4+7x в виде суммы чётной и нечётной функций. Ответ: x + x + x +

Задание 8 На координатной плоскости нарисуйте ломаную, ABC с координатами A(0;0);B(−2;−3);C(−4;2). Продолжите рисовать ломаную так, чтобы получился график чётной функции. Запишите координаты, которые необходимы для построения графика чётной функции. ; А1 = ; В1 = ; С1 =

Задание 9 На координатной плоскости нарисуйте ломаную ABC с координатами A(0;0),B(−4;4),C(−6;-2). Продолжите рисовать ломаную так, чтобы получился график нечётной функции. Запишите координаты, которые необходимы для построения графика нечётной функции. ; А1 = ; В1 = ; С1 =

Домашнее задание: Чаще всего функция выражается суммой, произведением или отношением двух и более чётных или нечётных функций или представляет собой сочетание нескольких чётных и нечётных функций. Как быстро доказать чётная функция или нечётная? Чтобы ответить на эти вопросы проведите дома исследование различных функций и сформулируйте правила, которые позволят нам сразу определять чётная функция или нечётная. сумма двух чётных функций – сумма двух нечётных функций – произведение двух нечётных функций - произведение двух чётных функций – отношение двух чётных функций - отношение двух нечётных функций - сумма нечётной и чётной функций - произведение нечётной и чётной функций - отношение нечётной и чётной функций -

Используемые ресурсы: Кнопки http://img-fotki.yandex.ru/get/6510/16969765.54/0_69266_274a3a82_orig.png Стикер на кнопках http://www.liveinternet.ru/users/3969946/post135138420/ http://tonpix.ru/stikery_klipart_png_486970/